a (tóm tắt lại): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=mx-m+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó \(\Delta>0\Leftrightarrow m\ne2\).

b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm là x=1 và x=m-1. Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt là x₁, x₂ và vai trò của x₁, x₂ trong biểu thức A là như nhau nên ta giả sử \(x_1=1;x_2=m-1\left(m\ne2\right)\)

Từ đây ta có:

\(A=\dfrac{2.1.\left(m-1\right)}{1^2+\left(m-1\right)^2+2\left[1+1.\left(m-1\right)\right]}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m-1\right)^2+2+2\left(m-1\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m^2-2m+1\right)+2+2m-2}=2.\dfrac{m-1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow A\left(m^2+2\right)=2\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow Am^2-2m+2\left(A+1\right)=0\left(2\right)\)

Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 tham số A ẩn x, ta có:

\(\Delta'\left(2\right)=1^2-2A\left(A+1\right)=-2\left(A^2+A\right)+1=-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\)

Để phương trình (2) có nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\Rightarrow-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\le A\le\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Để phương trình (2) có nghiệm kép thì: \(\Delta'\left(2\right)=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{A}\)

\(MinA=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}=1-\sqrt{3}\)

\(MaxA=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}=\sqrt{3}+1\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\left(1\right)\)

Ta có:

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25\)

\(\Rightarrow\left|x_1-x_2\right|=5\)

Lại có:

\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)=3m^2+3m+7\)

Khi đó \(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2\right)=50\)

\(\Leftrightarrow5\left(3m^2+3m+7\right)=50\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2\left(m-2\right)x-5=0\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+5>0;\forall m\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2< 0\\x_1< x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2+2\right|=10\)

\(\Leftrightarrow-x_1+x_2+2=10\Leftrightarrow x_2-x_1=8\)

 \(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2=64\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=64\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2+20=64\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=11\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{11}\\m=2-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x+4=2mx-m^2\)

=>\(x^2-2x+4-2mx+m^2=0\)

=>\(x^2-x\left(2m+2\right)+m^2+4=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2-16=8m-12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>8m-12>0

=>8m>12

=>\(m>\dfrac{3}{2}\)

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m-2\right)}{1}=2m+2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4}{1}=m^2+4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=3m^2+12+4\)

=>\(x_1^2+x_1\cdot x_2+x_2^2=3x_1x_2+4\)

=>\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

=>\(\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)=4\)

=>\(4m^2+8m+4-4m^2-16=4\)

=>8m-12=4

=>8m=16

=>m=2(nhận)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx+m-1=0\)

\(a+b+c=0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow m-1\ne1\Rightarrow m\ne2\)

Do hiển nhiên \(1< 2\)  nên \(x_1< x_2< 2\Rightarrow m-1< 2\)

\(\Rightarrow m< 3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m< 3\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-(2x+2m-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2x+(1-2m)=0(*)$

Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì pt $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=1-(1-2m)=2m>0\Leftrightarrow m>0$

Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=1-2m$

Khi đó:

$x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$

$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8$

$\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8$

$\Leftrightarrow 2(1-2m)^2-[2^2-2(1-2m)]=8$

$\Leftrightarrow 8m^2-12m=8$

$\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0$

$\Leftrightarrow (m-2)(2m+1)=0$

$\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{-1}{2}$

Vì $m>0$ nên $m=2$

`a)` Phương trình hoành độ của `(P)` và `(d)` là:

     `x^2=(2m+2)x-m-2m`

`<=>x^2-2(m+1)x+3m=0`     `(1)`

`(P)` cắt `(d)` tại `2` điểm `A,B<=>` Ptr `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

   `=>\Delta' > 0`

`<=>(m+1)^2-3m > 0`

`<=>m^2+2m+1-3m > 0`

`<=>m^2-m+1 > 0` (LĐ `AA m`)

   `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=3m):}`

Ta có: `{(2x_1+x_2=5),(x_1+x_2=2m+2):}`

`<=>{(x_1=3-2m),(3-2m+x_2=2m+2):}`

`<=>{(x_1=3-2m),(x_2=4m-1):}`

Thay vào `x_1.x_2=3m`

  `=>(3-2m)(4m-1)=3m`

`<=>12m-3-8m^2+2m=3m`

`<=>8m^2-11m+3=0`

`<=>(m-1)(8m-3)=0<=>[(m=1),(m=3/8):}`

m = 1